浅野直樹の学習日記

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平成25年司法試験予備試験論文(商法)答案練習

問題

 次の文章を読んで,後記の〔設問1〕から〔設問3〕までに答えなさい。

 

1.X株式会社(以下「X社」という。)は,日本国内において不動産の開発及び販売等を行う監査役会設置会社であり,金融商品取引所にその発行する株式を上場している。

2.Y株式会社(以下「Y社」という。)は,日本国内において新築マンションの企画及び販売等を行う取締役会設置会社であり,監査役を置いている。Y社が発行する株式は普通株式のみであり,その譲渡による取得にはY社の承認を要するものとされている。
 Y社の発行済株式のうち,75%はX社及びその子会社(以下,X社を含め「Xグループ」という。)が,15%はY社の取締役であるAが,10%は関東地方を中心に住居用の中古不動産の販売等を行うZ株式会社(以下「Z社」という。)がそれぞれ保有している。なお,Z社の発行済株式の67%はAが保有し,同社の取締役はA及びAの親族のみである。

3.X社は,平成23年9月,Y社の行う事業をXグループ内の他社に統合する方向で検討を始め,その後,Aに対し,A及びZ社が保有するY社株式をX社に売却するよう求めた。しかし,Aは,Y社との資本関係が失われることによって生じ得るZ社の事業展開への不安を訴えて回答を留保し,その後のX社による説得にも応じなかった。

4.X社は,平成24年6月1日,取締役会を開催し,同年9月1日をもってY社をX社の完全子会社とする旨の株式交換契約(以下「本件株式交換契約」という。)を締結することを適法に決定した。また,Y社でも,同年6月1日,取締役会を開催し,本件株式交換契約を締結することを適法に決定した。
 これらの決定を受けて,X社とY社との間で本件株式交換契約が正式に締結された。本件株式交換契約においては,Y社株主に対しY社株式10株につきX社株式1株を交付する,すなわち,X社とY社との間の株式交換比率(以下「本件交換比率」という。)を1対0.1とする旨が定められた。

5.X社では,同月29日,定時株主総会が開催され,本件株式交換契約の承認に関する議案が適法に可決された。

6.Y社でも,同日,定時株主総会(以下「本件総会」という。)が適法な招集手続に基づき開催された。本件総会には,本件株式交換契約の承認に関する議案及びAの取締役からの解任に関する議案が提出された。
 Aは,本件総会の議場において,株主としての地位に基づき,議長である代表取締役Bに対し,自らが取締役から解任される理由について質問をした。これに対してBは,「それはあなたもわかっているはずであり,答える必要はない。」と回答し,質疑を打ち切った。A及びZ社は,本件総会に提出された上記各議案に反対したが,いずれもXグループ各社の賛成により可決された。

7.Aは,同年7月,本件交換比率の妥当性について独自に検討し,算定を行うこととした。その結果,同年8月,Aとしては,Y社株主に対しY社株式10株につきX社株式3株を交付するのが妥当であるとの結論に至った。

 

〔設問1〕
 Aは,Aを取締役から解任する旨の本件総会の決議の効力を争うことができるか。

 

〔設問2〕
 Aは,Y社に対し,本件交換比率の妥当性を検討するためであることを明らかにして,本件交換比率をY社が算定するために使用したY社の一切の会計帳簿及びこれに関する資料の閲覧を請求した。Y社は,この請求を拒むことができるか。なお,Y社の会計帳簿及びこれに関する資料は書面をもって作成されているものとする。

 

〔設問3〕
 本件交換比率を不当と考えるAが,
 ① 本件株式交換契約に基づく株式交換の効力発生前に会社法上採ることができる手段
 ② 本件株式交換契約に基づく株式交換の効力発生後に会社法上採ることができる手段として,それぞれどのようなものが考えられるか。

 

 

練習答案

以下会社法についてはその条数のみを示す。

[設問1]
 取締役は、いつでも、株主総会の決議によって解任することができる(339条1項)。XグループはY社の発行済株式のうち75%を保有していたので、定足数及び議決数は満たしている(341条)。
 取締役は、株主総会において株主から特定の事項について説明を求められた場合には、当該事項について必要な説明をしなければならない(314条本文)。Bは取締役であり、Aは株主である。A自らが取締役から解任される理由についての質問は特定の事項について説明を求めることであり、株主総会の目的である事項に関しないものではないし、その説明をすることにより株主の共同の利害を著しく害する場合その他正当な理由がある場合でもない。よって314条但書には該当せず、Bは必要な説明をしなければならない。「それはあなたもわかっているはずであり、答える必要はない。」との回答は、とうてい説明になっていない。以上より、本件株主総会には314条違反がある。
 株主総会の決議が法令に違反する場合には、株主は、株主総会の決議の日から3か月以内に、訴えをもって当該決議の取消しを請求することができる(831条1項前段、同1号)。先に見たように本件株主総会の決議の方法が法令に違反しているので、株主であるAは、平成24年9月29日までに、訴えをもって、Aを取締役から解任する旨の本件総会の決議の取消しを請求して、その効力を争うことができる。

 

[設問2]
 発行済株式の100分の3以上の数の株式を有する株主は、株式会社の営業時間内は、いつでも、会計帳簿又はこれに関する資料の閲覧の請求をすることができる(433条1項1号)。その請求があったときは、株式会社は、433条2項各号に該当する場合を除き、これを拒むことができない(433条2項柱書)。
 AはY社の発行済株式の15%を保有しているので、100分の3以上の数の株式を有する株主である。よって本問のY社の会計帳簿及びこれに関する資料の閲覧をY社の営業時間内はいつでもすることができる。
 本件交換比率如何で割り当てられるX社株式数が変動するので、それはY社株主Aの権利の行使に関する調査である(433条2項1号及び2号には該当しない)。この閲覧によって知り得た事実を利益を得て第三者に通報するためではないし、過去にそのような通報をしたことも認められない(433条2項4号及び5号には該当しない)。Aは、関東地方を中心に住宅用の中古不動産の販売等を行うZ社の発行済株式の67%を保有し同社の取締役でもあるので、日本国内において新築マンションの企画及び販売等を行うY社と実質的に競争関係にある事業を営んでいると言えるので、433条2項3号に該当するように見える。しかし同号はそれにより株主の共同の利益が害されることを防ぐ趣旨であり、同号に該当するからといって一律に閲覧請求を拒めるとすると株主としての正当な権利行使が妨げられてしまうので、株主の共同の利益が害される危険性と権利行使の正当性を考慮して閲覧請求を拒めるかどうかを決するべきである。本件では特に株主の共同の利害が害されることを窺わせる事情がない一方で、権利行使の正当性ははっきり認められるので、Y社はAによる閲覧請求を拒むことはできない。

 

[設問3]
 
  本件株式交換契約に基づく株式交換の効力発生前に会社法上採ることができる手段として、株主による取締役の行為の差止め(360条1項)及び本件株式交換契約を承認したY社株主総会の決議の取消しの訴え(831条1項)が考えられる。
 
本件株式交換契約に基づく株式交換の効力発生後に会社法上採ることができる手段として、株式会社の株式交換無効の訴え(828条1項11号)が考えられる。

以上

 

修正答案

以下会社法についてはその条数のみを示す。

[設問1]
 取締役は、いつでも、株主総会の決議によって解任することができる(339条1項)。XグループはY社の発行済株式のうち75%を保有していたので、定足数及び議決数は満たしている(341条)。
 取締役は、株主総会において株主から特定の事項について説明を求められた場合には、当該事項について必要な説明をしなければならない(314条本文)。Bは取締役であり、Aは株主である。A自らが取締役から解任される理由についての質問は特定の事項について説明を求めることであり、株主総会の目的である事項に関しないものではないし、その説明をすることにより株主の共同の利害を著しく害する場合その他正当な理由がある場合でもない。よって314条但書には該当せず、Bは必要な説明をしなければならない。「それはあなたもわかっているはずであり、答える必要はない。」との回答は、とうてい説明になっていない。以上より、本件株主総会には314条違反がある。
 株主総会の決議が法令に違反する場合には、株主は、株主総会の決議の日から3か月以内に、訴えをもって当該決議の取消しを請求することができる(831条1項前段、同1号)。先に見たように本件株主総会の決議の方法が法令に違反しているので、株主であるAは、平成24年9月29日までに、訴えをもって、Aを取締役から解任する旨の本件総会の決議の取消しを請求して、その効力を争うことができる。説明義務をおよそ果たさいないということは重大な違反なので、裁量棄却(831条2項)の余地はない。

 

[設問2]
 発行済株式の100分の3以上の数の株式を有する株主は、株式会社の営業時間内は、いつでも、会計帳簿又はこれに関する資料の閲覧の請求をすることができる(433条1項1号)。その請求があったときは、株式会社は、433条2項各号に該当する場合を除き、これを拒むことができない(433条2項柱書)。
 AはY社の発行済株式の15%を保有しているので、100分の3以上の数の株式を有する株主である。よって本問のY社の会計帳簿及びこれに関する資料の閲覧をY社の営業時間内はいつでもすることができる。
 本件交換比率如何で割り当てられるX社株式数が変動するので、それはY社株主Aの権利の行使に関する調査である(433条2項1号及び2号には該当しない)。この閲覧によって知り得た事実を利益を得て第三者に通報するためではないし、過去にそのような通報をしたことも認められない(433条2項4号及び5号には該当しない)。請求者の側で会社にどのような資料があるのか詳細はわからないため、「本件交換比率をY社が算定するために使用したY社の一切の会計帳簿及びこれに関する資料」とすることで理由を明らかにしたと言える。
 Aは、関東地方を中心に住宅用の中古不動産の販売等を行うZ社の発行済株式の67%を保有し同社の取締役でもあるので、日本国内において新築マンションの企画及び販売等を行うY社と実質的に競争関係にある事業を営んでいると言える。よって433条2項3号に該当する。同号は1号及び2号とは異なり請求者の主観的意図を要件とはしていないので、その事業を営んでいるという客観的な事情により該当すると判断すべきである。
 以上より、Y社は、433条2項3号に該当するとして、この請求を拒むことができる。

 

[設問3]
 
  本件株式交換契約に基づく株式交換の効力発生前に会社法上採ることができる手段として、本件株式交換契約を承認したY社株主総会の決議の取消しの訴え(831条1項)が考えられる。「株主総会等の決議について特別の利害関係を有する者が議決権を行使したことによって、著しく不当な決議がされたとき」(831条1項3号)に該当する。Xグループは株式交換の相手方であり、株式交換比率という決議について特別の利害関係を有する者である。交換比率を操作することにより、他の株主の犠牲のもとで、正当な価格よりも安くY社を手に入れることができるからである。
  このように株主総会の決議の取消しが認められるとしても、係争中に株式交換が行われてしまう可能性がある。そこで、会社法では本件のような株式交換の事前差止については規定されていないので【注:平成26年改正前】、民事保全法の仮処分を用いることが考えられる。
  他方で、不当な比率での株式交換そのものをやめさせたいのではなく、適正な金銭を得てY社株主という地位を脱退したいということであれば、株式買取請求権を行使することが考えられる(785条)。Aは株主総会で本件決議に反対しているので、株主総会に先立って反対する旨を通知していれば(問題文からはこの通知をしていたかどうかは定かではない)、785条2項1号イの要件を満たす。
 
  本件株式交換契約に基づく株式交換の効力発生後に会社法上採ることができる手段として、株式会社の株式交換無効の訴え(828条1項11号)が考えられる。しかし、交換比率の不当性は、無効とせずとも事後的に損害賠償により調整できるため、無効事由とはならないと解すべきである。上記①で述べた831条1項3号の決議についても突き詰めると不当な合併比率という問題に行き着くため、本件では無効とはならない。
  そこで、事後的な損害賠償として、429条による取締役の第三者への責任追及をすることが考えられる。会社株主は会社の所有者であるので423条により会社について損害を回復させるのが筋であるという考え方がある。しかし本件のように大株主によって少数株主が搾取されるような場合は、会社全体が損害を被っているというよりも、少数株主が損害を被っていると言える。よってAはY社の株主であるけれども個人的に429条1項のY社代表取締役であるBの責任を追及することができる。Bが本件株式交換という職務を行うについて、正当な交換比率で契約を締結するという任務を懈怠し、そのことにつき悪意又は重大な過失があったことが認められる。
以上

 

 

感想

[設問2]は判例を読んで結論を変えました。[設問3]は出題趣旨に挙げられていることを全部書こうとするとものすごく大変です。

 



日商簿記検定2級・1級の受験記録

日商簿記検定3級・2級の受験記録 – 浅野直樹の学習日記の続編で、日商簿記検定2級と1級を受験したときの記録です。先に結果を書いておくと、2級が84点で合格、1級が45点で不合格でした。

1.簿記2級の勉強

前回の受験であと1点のところまでいけていましたし、今回は1級を受けるので、2級のための勉強はしませんでした。1級の勉強をしてから2級の問題を解くと簡単に思えました。試験当日も満点を取るつもりで臨んだのですが、いくつかミスをしてしまいました。

 

簿記は上の級の勉強をすると、その級だけの勉強をしていると見えないことも見えてくるような気がします。

 

2.簿記1級の勉強

3級、2級とお世話になった「スッキリ」シリーズを使いました。


スッキリわかる日商簿記1級 商業簿記・会計学 (1) 損益会計編 第6版 [テキスト&問題集] (スッキリわかるシリーズ)


作 者: 滝澤 ななみ

出版社: TAC出版

発売日: 2015-11-24

1級になると冊数が多くて大変です。

 

特に商業簿記は覚えるべきことが多くて厳しかったです。会計学も手をつけにくかったです。工業簿記は理解したつもりでしたが試験本番では混乱して結果を出せませんでした。原価計算は数学に近いので原理を理解すればできると思っていました。

 

3.感想

団体の会計を担当する際にあったほうがよい素養を身につけ、財務諸表を読んだり会計学に近いことを教えたりするための基礎知識を得るという当初の目標はおよそ達成できたと思います。簿記の勉強は着実に進んでいるという手応えを得やすいので精神衛生上もよいですね。その反面で結果がシビアに点数化され、しかもだいたい想像していた点数より悪いという厳しさがあります。

 

 



パラボラアンテナの性質を証明する放物線の応用問題

数学IIIで習う放物線の応用問題としてパラボラアンテナの性質を示すのがおもしろいのでまとめます。

 

パラボラアンテナの原理と放物線の性質 | 高校数学の美しい物語放物線の接線の方程式と光線の反射 | 受験の月を参考にさせてもらいました。この両サイトにはいつもお世話になっております。数学がそこまで得意だというわけでもない高校生にも理解できるようにさらにわかりやすく提示するのが私の仕事だと思っています。両サイトの作者に数学力ではとてもかないません。

 

1.問題

パラボラアンテナの対称軸に対して平行に入射した信号は「焦点に」「同時に」届くことを証明せよ。

 

これを以下のような小問に分解するとわかりやすいです。

 

パラボラアンテナの対称軸が$y$軸、頂点が原点になるように設定し、そのパラボラアンテナが表す曲線を$y=ax^2(a>0)$とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) $y=ax^2$上の点A$(t, at^2)(t\ne{0})$における接線の方程式を求めよ。
(2) 曲線$y=ax^2$の焦点をF、(1)で求めた接線と$y$軸との交点をBとするとき、△FABがFA$=$FBの二等辺三角形であることを示せ。
(3) 点$(t, k)(k>at^2)$をPとし、点Aを通り(1)で求めた接線と直交する直線と$y$軸との交点をCとするとき、∠PAC$=$∠FACであることを示せ。
(4) $t$の値にかかわらずPA$+$AFが一定であることを示せ。

 

2.図

問題文を図にすると以下のようになります。

 

3.小問1

$y’=2ax$よりA$(t, at^2)$での接線の傾きは$2at$となるので、求める直線は

$y-at^2=2at(x-t)$

$y=2atx-at^2$

となる。

 

(これは微分の定番問題ですね。$y^2=4px$で表される横向きの放物線でも同じように考えることができますが、逆関数の微分が必要となってやや面倒です。多くの高校では逆関数の微分よりも先に放物線などの二次曲線を習いますから。)

 

4.小問2

この曲線の式を変形すると$x^2=4\cdot\frac1{4a}y$になるので、放物線の定義より、焦点は$(0, \frac1{4a})$である。

(1)で求めた接線の式$y=2atx-at^2$の$x$に$0$を代入すると$y=-at^2$となるので、Bの座標は$(0, -at^2)$である。

よってFB$=\frac1{4a}+at^2$である。

また、FA$=\sqrt{t^2+(at^2-\frac1{4a})^2}=\sqrt{a^2t^4+\frac12t^2+\frac1{16a^2}}=\sqrt{(at^2+\frac1{4a})^2}=at^2+\frac1{4a}$

以上よりFA$=$FBとなるので△FABはFA$=$FBの二等辺三角形である。

 

(この小問のように△FABが二等辺三角形であることに着目するという発想がなかなか思いつかないので、小問を付して誘導するのがよいと思います。)

 

5.小問3

(1)で求めた接線と直線PAとのなす角を$\theta$とする。

PA // FBであり、平行線の同位角は等しいので、∠FBA$=\theta$である。

(2)より△FABはFA$=$FBの二等辺三角形であり底角が等しいので∠FAB$=\theta$である。

図より∠PAC$=90^{\circ}-\theta$、∠FAC$=90^{\circ}-\theta$となるので、∠PAC$=$∠FACである。

 

(これでPからAへと入射した信号が入射角$=$反射角となるように反射すると焦点Fを通ることが示されました。)

 

6.小問4

放物線の定義より、この放物線の準線は$y=-\frac1{4a}$である。そして点$(t, -\frac1{4a})$をDとすると、AF$=$ADである。

AD$=at^2+\frac1{4a}$なので、AF$=at^2+\frac1{4a}$である。

以上より

PA$+$AF$=(k-at^2)+(at^2+\frac1{4a})=k+\frac1{4a}$となり、$t$の値にかかわらず一定である。

 

(これで焦点Fへと至る道のりが等しくなることがわかるので速さの等しい信号がどこから入射しようとも「同時に」届くことが示されました。)

 

7.おわりに

$t\ne{0}$のときはFABが三角形にならないので別途考える必要がありますが、∠PAC$=$∠FAC$=0^{\circ}$、PA$+$AF$=k+\frac1{4a}$であることは明らかです。角度をtanの加法定理で扱う方法も捨てがたいです。

 

 

 

 

 

 



マルコフ過程の問題の解き方3通り

マルコフ過程の問題の解き方を考えたので忘れないように書き留めておきます。

1.マルコフ過程とは

マルコフ過程とは、Wikipediaの記述を借りると、「未来の挙動が現在の値だけで決定され、過去の挙動と無関係であるという性質を持つ確率過程」です。具体例としては、天気の推移、マーケットシェアの推移、人口推移、機械の状態推移などが挙げられます。

 

2.問題例

具体的な問題例を見てもらいましょう。名古屋大学2006年工学部後期の入試問題です。2006 名古屋大学 後期理学部MathJaxを参考にさせてもらいました。

 

A,B2つの町がある.毎年1月1日に,A町の前年の住民のうち4割がB町に,B町の前年の住民のうち2割がA町に,それぞれ引っ越す(住民の数は十分に多く,引っ越す住民の割合は正確に4割,2割と見なしてよい).それ以外には住民の移動はなく,A町,B町両方をあわせた住民の数は不変である.次の各問に答えよ.

((1)〜(3)はここでは省略)

(4) $n$年後にA町とB町それぞれに住んでいる住民の数を$a_n$と$b_n$とで表す.このとき,つぎの極限を求めよ.
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$

 

3.解き方1:簡便法

上記の(4)で聞かれていることは、長期的にはA町とB町の人口比が何対何になるかということです。

 

「$n+1$年後にA町に住んでいる住民の数$=n$年後にA町に住んでいてとどまった人$+n$年後にB町に住んでいて引っ越した人」と考えることができます。これを数式にすると

$a_{n+1}=0.6a_n+0.2b_n$…①

となります。

同様に

$b_{n+1}=0.4a_n+0.8b_n$…②

です。

 

このようなマルコフ過程では定常状態に落ち着くということを前提にしてもよいならば、定常状態でのA町の人口を$a$、B町の人口を$b$として、①の式に代入すると(②に代入しても最終的に同じ式になります)

$a=0.6a+0.2b$

となります。

これを変形すると

$2a=b$

となるので、長期的にはA町とB町の人口比は$a:b=a:2a=1:2$になることがわかります。

 

この問題のようなマルコフ過程では定常状態に落ち着くということを前提にしてもよいなら上記の簡便法を用いることができます。しかしどちらかというと簡便法で数値を求めることよりも、この問題のようなマルコフ過程では初期値とは関係なく定常状態に落ち着くという事実のほうが興味深いです。そこで以下の方法でそのことを数学的に示します。

 

 

4.解き方2:数列の連立漸化式

先ほどと同じように考えて、①と②の式を作ります。

$a_{n+1}=0.6a_n+0.2b_n$…①
$b_{n+1}=0.4a_n+0.8b_n$…②

これは高校数学で言うところの連立漸化式です。ここでは$a_{n+1}-sb_{n+1}=t(a_n-sb_n)$と変形して解きます(隣接3項間漸化式に持ち込んで解く方法もありますが、この問題では計算が煩雑になります)。

$a_{n+1}-sb_{n+1}=t(a_n-sb_n)$に①と②を代入して

$0.6a_n+0.2b_n-s(0.4a_n+0.8b_n)=t(a_n-sb_n)$

これを整理して$a_n$と$b_n$の係数を比較すると

$0.6-0.4s=t$…③
$0.2-0.8s=-st$…④

となる。③を④に代入してこれを解くと$(s, t)=(-1, 1), (0.5, 0.4)$となる。

$a_{n+1}-sb_{n+1}=t(a_n-sb_n)$に今求めた$(s, t)$を代入して

$a_{n+1}+b_{n+1}=a_n+b_n$…⑤
$a_{n+1}-0.5b_{n+1}=0.4(a_n-0.5b_n)$…⑥

⑤や⑥は等比数列を表しているので

$a_n+b_n=a_1+b_1$…⑦
$a_n-0.5b_n=(a_1-0.5b_1)0.4^{n-1}$…⑧

⑦$-$⑧より

$1.5b_n=a_1+b_1-(a_1-0.5b_1)0.4^{n-1}$

$b_n=\frac23\{a_1+b_1-(a_1-0.5b_1)0.4^{n-1}\}$

⑦$+$⑧$\times2$より

$3a_n=a_1+b_1+2(a_1-0.5b_1)0.4^{n-1}$

$a_n=\frac13\{a_1+b_1+2(a_1-0.5b_1)0.4^{n-1}\}$

以上より

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$

$=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\frac13\{a_1+b_1+2(a_1-0.5b_1)0.4^{n-1}\}}{\frac23\{a_1+b_1-(a_1-0.5b_1)0.4^{n-1}\}}$

$=\frac{\frac13(a_1+b_1)}{\frac23(a_1+b_1)}$

$=\frac12$

となります。

 

5.解き方3:行列

再三使っている①と②の式

$a_{n+1}=0.6a_n+0.2b_n$…①
$b_{n+1}=0.4a_n+0.8b_n$…②

を行列でまとめて表記すると

$\begin{pmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.6& 0.2\\0.4&0.8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$

となります。

$\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.6&0.2\\0.4&0.8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{n-1}\\b_{n-1}\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}a_{n-1}\\b_{n-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.6&0.2\\0.4&0.8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{n-2}\\b_{n-2}\end{pmatrix}$

と順に考えていくと

$\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.6&0.2\\0.4&0.8\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}a_{0}\\b_{0}\end{pmatrix}$

となります。

$\begin{pmatrix}0.6&0.2\\0.4&0.8\end{pmatrix}^n$

がわかるとうれしいです。

行列の$n$乗と言えば対角化ですね。詳しい説明は省略しますが、固有値と固有ベクトルを用いて

$\begin{pmatrix}0.6&0.2\\0.4&0.8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0.4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac13&\frac13\\\frac23&-\frac13\end{pmatrix}$

と変形することができます。

$\begin{pmatrix}\frac13&\frac13\\\frac23&-\frac13\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=E$

であることに注意すると

$\begin{pmatrix}0.6&0.2\\0.4&0.8\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1^n&0\\0&0.4^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac13&\frac13\\\frac23&-\frac13\end{pmatrix}$

となり、右辺を計算すると

$\frac13\begin{pmatrix}1+2\cdot0.4^n&1-0.4^n\\2-2\cdot0.4^n&2+0.4^n\end{pmatrix}$

となります。

よって

$\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}=\frac13\begin{pmatrix}1+2\cdot0.4^n&1-0.4^n\\2-2\cdot0.4^n&2+0.4^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{0}\\b_{0}\end{pmatrix}$

から

$\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}=\frac13\begin{pmatrix}(1+2\cdot0.4^n)a_0+(1-0.4^n)b_0\\(2-2\cdot0.4^n)a_0+(2+0.4^n)b_0\end{pmatrix}$

となり、

$a_n=\frac13\{(1+2\cdot0.4^n)a_0+(1-0.4^n)b_0\}$

$b_n=\frac13\{(2-2\cdot0.4^n)a_0+(2+0.4^n)b_0\}$

とわかるので、

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$

$=\frac{\frac13(a_0+b_0)}{\frac23(a_0+b_0)}$

$=\frac12$

と最後の答えを求めることができました。

ちなみにこの大学入試問題の省略した小問は以下の通りです。

(1) ある年の末にA町とB町それぞれに住んでいる住民の数を$a_0,b_0$とする.1年後にA町とB町それぞれに住んでいる住民の数$a_1,b_1$を表す式を$\begin{pmatrix}a_{1}\\b_{1}\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}a_{0}\\b_{0}\end{pmatrix}$とおくとき,$2×2$の行列$M$を具体的に示せ.
(2) 以下の式を満足する実数$\alpha, \beta$の値を求めよ.ただし$E$は$2×2$の単位行列である.
$M(M−\alpha{E})=\beta(M−\alpha{E})$
(3) (2)で与えられた式は,$\alpha$と$\beta$を入れ換えても成り立つ.このことと(2)の結果を用いて$M^n$を求めよ.ただし$n$は正の整数とする.

(1)

$M$は上記で登場した$\begin{pmatrix}0.6&0.2\\0.4&0.8\end{pmatrix}$です。

(2)

力技で解くのが早いと思います。

$M(M−\alpha{E})=\beta(M−\alpha{E})$

$\begin{pmatrix}0.6&0.2\\0.4&0.8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0.6-\alpha&0.2\\0.4&0.8-\alpha\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\beta(0.6-\alpha)&0.2\beta\\0.4\beta&\beta(0.8-\alpha)\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}0.6(0.6-\alpha)+0.08&0.12+0.2(0.8-\alpha)\\0.4(0.6-\alpha)+0.32&0.08+0.8(0.8-\alpha)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\beta(0.6-\alpha)&0.2\beta\\0.4\beta&\beta(0.8-\alpha)\end{pmatrix}$

それぞれの要素を比較してうまく式変形をすると

$\alpha+\beta=\frac75, \ \alpha\beta=\frac25$

を得ます。

解と係数の関係より、このような$\alpha, \beta$は

$5x^2-7x+2=0$の解であるので、これを解いて$x=1, \frac25$

以上より、$(\alpha, \beta)=(1, \frac25), (\frac25, 1)$である。

(3)

$M(M−\alpha{E})=\beta(M−\alpha{E})$の両辺に左から$M$をかけると

$M^2(M−\alpha{E})=\beta{M}(M−\alpha{E})=\beta^2(M−\alpha{E})$

となる。これを繰り返すと

$M^n(M−\alpha{E})=\beta^n(M−\alpha{E})$

$M^{n+1}-\alpha{M}^n=\beta^n{M}-\alpha\beta^n{E}$…(A)

が得られる。

$\alpha$と$\beta$を入れ替えて同様の操作をすると

$M^n(M−\beta{E})=\alpha^n(M−\beta{E})$

$M^{n+1}-\beta{M}^n=\alpha^n{M}-\alpha^n\beta{E}$…(B)

が得られる。

(A)$-$(B)より

$(\beta-\alpha)M^n=(\beta^n-\alpha^n)M-\alpha\beta(\beta^{n-1}-\alpha^{n-1})E$

ここに$\alpha=\frac25, \beta=1$を代入して

$\frac35M^n=\begin{pmatrix}0.6(1-0.4^n)&0.2(1-0.4^n)\\0.4(1-0.4^n)&0.8(1-0.4^n)\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0.4-0.4^n&0\\0&0.4-0.4^n\end{pmatrix}$

$\frac35M^n=\begin{pmatrix}0.2+0.4\cdot0.4^n&0.2-0.2\cdot0.4^n\\0.4-0.4\cdot0.4^n&0.4+0.4\cdot0.4^n\end{pmatrix}$

$M^n=\frac13\begin{pmatrix}1+2\cdot0.4^n&1-0.4^n\\2-2\cdot0.4^n&2+0.4^n\end{pmatrix}$

と求めることができました。

(4)は先ほど対角化で解いた際の記述と同じでよいです。

 

6.まとめ

定常状態の比率の数字だけほしければ簡便法が圧倒的に簡単です。行列をやっていない人は数列のほうがとっつきやすいでしょうが、行列のほうが応用しやすいです。

 



重要英語構文100

重要英語構文100を作ってみました。日本語をクリックすると英訳例が、英訳例をクリックすると解説が表示されます。

 

  1. 彼はベッドに横になった。
    • He lay on the bed.
      • 「横になる」(自動詞)はlie-lay-lain、「〜を横にする」(他動詞)はlay-laid-laid。「うそをつく」はlie-lied-lied。
  2. ジムは自分の車を私に使わせてくれた。
  3. 私は髪を切ってもらった。
    • I had my hair cut.
      • have+O+Cのパターン。うれしい内容なら「OをCの状態にしてもらう」、うれしくない内容なら「OをCの状態にされる」。
  4. 私は、その猫がその道路を横切るのを見た。
  5. 父は私にこの時計をくれました。
  6. 東京に行くのに私は2時間かかった。
  7. その知らせは私を怒らせた。
  8. そんなにうるさくするな!
  9. 早く起きなさい。さもないと学校に遅れますよ。
  10. 「あなたの家は、駅からどのくらいの距離がありますか。」「約3キロです。」
  11. あなたは彼が誰だと思いますか。
  12. 「泳げないの?」「うん、泳げないんだ。」
  13. 「窓を開けてもいいかな。」「どうぞ。」
  14. 今夜、映画を見に行きませんか。
  15. 彼はどんな人ですか。
    • What is he like?
      • このlikeは「〜を好む」という動詞ではなく「〜のような」という前置詞。
  16. そのネコは私の母に世話をされた。
  17. 彼女の母は女優だそうです。
  18. その赤ちゃんはすぐに歩けるようになるでしょう。
  19. ここでは靴を脱がなくてもよいです。
  20. 彼女が怒るのも当然だ。
  21. 彼女はケンの姉にちがいない
    • She must be Ken’s sister
      • 推量(可能性)の助動詞。can’tは「はずがない」。haveをつけると過去の推量(可能性)になる。
  22. 私は仕事後によくジムに行ったものだ
  23. 私の父が死んで5年になる。
  24. 私が競技場に着いたとき、その試合は10分前に始まっていた。
  25. 彼が遅れるだろうと私は思った。
  26. もし私があなたなら、そのような物は買わないだろう。
  27. 彼はまるで何でも知っているかのように話す。
  28. 水がなければ、誰も生きられないだろう。
  29. 私にとって英語を勉強することはおもしろい。
  30. 彼は友達を作ることが簡単だと思っている。
  31. 私は何か温かい飲み物が欲しい。
  32. 彼女は友達に会うために東京へ行った。
  33. 私は一生懸命働いたが、また失敗しただけだった。
  34. このカレーは私が食べるには辛すぎる。
  35. 彼女は親切にも私の荷物を運んでくれた。
  36. 彼の話は本当だとわかった。
  37. 母は私にもっと野菜を食べるようにと言った。
  38. 次に何をすべきか教えてください。
  39. 言うまでもないことだが、健康は富に勝る。
  40. 彼女は野球をするのが上手です。
  41. 兄は私がテレビを見るのを好まない。
  42. 彼女は女優であったことを誇りに思っている。
  43. 彼女に会ったことは決して忘れません。
  44. 彼が喫煙をやめた。
  45. この時計は修理する必要がある。
  46. 医師たちはそのウイルスが蔓延するのを防ごうとした。
  47. 私は笑わずにはいられなかった。
  48. 私は昨晩9時間眠ったが、まだ眠い。
  49. 「私は生魚を食べられません。」「私も食べられません。」
  50. ほとんどの生徒が欠席だった。
  51. その少女はその知らせに驚いた。
  52. 何を言えばよいのかわからず、彼女は黙っていた。
  53. 彼は目を閉じて座っていた。
  54. 私の部屋には家具が多い。
  55. 悪天候のせいで、私たちは試合を中止した。
  56. この写真を見ると、彼はいつも幼少のころを思い出す。
  57. あなたはこの薬を1日につき3回飲まなければならない。
  58. 私はバスで学校に行く。
  59. 私は英語で自分の意思を伝えられなかった。
  60. 先月は雨がほとんど降らなかった。
  61. 私の兄の1人は会社員で、もう1人は大学生です。
  62. 釣りが好きな人もいるし、そうでない人もいる。
  63. このクラスの生徒の誰もその質問に答えられなかった。
  64. その本のどれも有益である。
  65. 私は自分のペンを失くしたので、買わなければならない。
  66. 中国の人口は日本の人口よりはるかに大きい。
  67. 庭で眠っている犬はポチです
  68. 赤い屋根が見える家が、私たちの家です。
  69. 彼らは自分たちが見たものを信じられなかった。
  70. 今日私があるのは両親のおかげです。
  71. これは私が生まれた市だ。
  72. これは私が去年訪れた市だ。
  73. 彼には2人の息子がいて、その息子たちはフランスで働いている。
  74. どれほど疲れていても、彼女は笑顔を絶やさない。
  75. 彼は英語だけでなくスペイン語も話す。
  76. 彼女は私に何か冷たいものがほしいかどうかと尋ねた。
  77. 私の犬は私の声を聞くとすぐにほえ始めた。
  78. いったん車を手に入れると、どこにでも行きたいところに行ける。
  79. 飛行機が遅れない限り、彼は7時にここに来るでしょう。
  80. 私は本を好む一方、彼はスポーツを好む。
  81. あなたは正午までにこの仕事を終えなければならない。
  82. 私たちの息子は数時間経ったら戻ってくるでしょう。
  83. この鉛筆はあの鉛筆の3倍の長さだ。
  84. その医者はできるだけ急いでやって来た。
  85. トムはジョンより3歳年下だ。
  86. 彼は実際の年齢よりずっと若く見える。
  87. 私たちが高く登れば登るほど、寒くなった。
  88. 馬が魚でないのと同様に、鯨は魚ではない。
  89. マイクはこのクラスで2番目に背の高い学生です。
  90. 東京は世界で最も大きな都市の一つだ。
  91. 富士山は日本で最も高い山だ。
  92. そのドラマは悲劇というよりは、むしろ喜劇だった。
  93. 私は少なくとも1万円持っている。
  94. 私は彼女の言っていることをほとんど理解できなかった。
  95. 彼がいつも私に同意するとは限らない。
  96. 健康を失うまでそのありがたさがわからない。
  97. 彼の話は決して退屈ではなかった。
  98. 私たちはどろぼうがビルの家に侵入したという知らせを聞いた。
  99. あなたが成功する望みは、たとえあるにしても、ほとんどない。
  100. 彼は私に、私の両親がどこに住んでいるのか尋ねた。



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