浅野直樹の学習日記

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2013 / 11月

平行線と線分の比の証明

平行線と線分の比

平行線と線分の比とは、右の図でBC // DEのとき、次の2つの事柄が成り立つことです。

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(ア) AB:AD=AC:AE=BC:DE

(イ) AD:DB=AE:EC

 

 

(ア)の証明はそれほど難しくありません。

 

【証明】

△ABCと△ADEにおいて

BC // DEより平行線の同位角は等しいので

∠ABC=∠ADE…①

∠ACB=∠AED…②

①、②より2つの角がそれぞれ等しいので

△ABC∽△ADE

対応する辺の比は等しいので

AB:AD=AC:AE=BC:DE

 

これで(ア)は証明できました。問題は(イ)です。直感的には成り立ちそうですが、きちんと証明するとなると意外に苦労します。

 

平行線と線分の比の証明その1

補助線を引いて平行四辺形を作るやり方です。中学数学の教科書に載っているのはおそらくこれです。
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【証明】

Dを通りACに平行な直線を引き、その直線とBCとの交点をFとする。

△ADEと△DBFにおいて

BC // DEより平行線の同位角は等しいので

∠ADE=∠DBF…①

AC // DFより平行線の同位角は等しいので

∠DAE=∠BDF…②

①、②より2つの角がそれぞれ等しいので

△ADE∽△DBF

対応する辺の比は等しいので

AD:DB=AE:DF…③

四角形DECFは平行四辺形なので

DF=EC

このことと③より

AD:DB=AE:EC

 

平行線と線分の比の証明その2

私は補助線を引いて平行四辺形を作ることが思いつかず、相似比から直接考えました。
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【証明】

(ア)の証明より

△ABC∽△ADEであり、その相似比をa:bとすると

AB:AD=AC:AE=a:bとなる。

このことより、任意の正の数m, nを用いて

AB=am, AD=bm

AC=an, AE=bn

と表すことができる。

DB=AB−AD=am−bm=m(a−b)

EC=AC−AE=an−bn=n(a−b)

となり、

AD:DB

=bm:m(a-b)

=b:(a−b)

AE:EC

=bn:n(a−b)

=b:(a−b)

となるので、

AD:DB=AE:ECが成り立つ。

 

比と実際の長さを混同しないように注意する必要がありますが、こうすれば補助線を引くことなしに相似比から直接証明できます。

 

 



英語文法 動詞

自動詞と他動詞

1.意味が同じもの(move, open, stopなど)

HeS didn’t moveV.
(彼は動かなかった。)

HeS didn’t moveV the deskO.
(彼はその机を動かさなかった。)

2.意味が大きく異なるもの(run, standなど)

HeS ranV to me.
(彼は私のところに走ってきた。)

HeS runsV a coffee shopO.
(彼は喫茶店を経営している。)

3.形が紛らわしいもの(lieとlay、riseとraiseなど)

HeS layV on the bed.
(彼はベッドに横になった。)

HeS laidV the babyO on the bed.
(彼はベッドに赤ちゃんを寝かせた。)

{
lie-lay-lain(横になる)
lay-laid-laid(〜を横にする)
  {
rise-rose-risen(上がる)
raise-raised-raised(〜を上げる)

4.自動詞と間違えやすい他動詞(marry, discussなど)

SheS marriedV her high school classmateO.
(彼女は高校の同級生と結婚した。)

WeS discussedV the problemO.
(私たちはその問題について議論した。)

5.他動詞と間違えやすい自動詞(agree, apologizeなど)

IS don’t agreeV with you.
(私はあなたに同意しない。)

HeS apologizedV to her for his behavior.
(彼は自分の振る舞いについて彼女に謝罪した。)

使役動詞と知覚動詞

1.使役動詞+O+原型

 He mademake his younger brotherO drinkdo sake.
=He compelled[forced] his younger brother to drink sake.
(彼は弟に酒を飲ませた。)

 I hadhave my sisterO makedo coffee.
=I got my sister to make coffee.
(私は妹[姉]にコーヒーを作ってもらった。)

 Jim letlet meO usedo his car.
=Jim allowed me to use his car.
(ジムは自分の車を私に使わせてくれた。)

Can you help me (to) wash the dishes?
(私が皿を洗うのを手伝ってくれませんか。) 

2.使役動詞+O+分詞

She had[get]have her purseO stolenp.p. in a bus.
(彼女はバスの中で財布を盗まれた。)

I had[got]have my hairO cutp.p..
(私は髪を切ってもらった。)

I couldn’t makemake myselfO understoodp.p. in English.
(私は英語で自分自身を理解させることができなかった。

⇒私の英語は通じなかった。)

3.知覚動詞+O+原型

I sawsee the catO crossdo the road.
(私は、その猫がその道路を横切るのを見た。)

I feltfeel my houseO shakedo.
(私は家が揺れるのを感じた。)

4.知覚動詞+O+分詞

I sawsee the catO crossingdoing the road.
(私は、その猫がその道路を横切っているのを見た。)

I feltfeel my houseO shakingdoing.
(私は家が揺れているのを感じた。)

I heardhear my nameO calledp.p..
(私は自分の名前が呼ばれるのを聞いた。)

要求・提案のthat節

I suggest that you (should) be more careful.
(あなたはもっと気をつけた方がよい。)

I demanded that she (should) return the books she borrowed.

(私は彼女に借りた本を返してくれるよう要求した。)

その他の動詞の語法

1.言う

He told us that playing the role is difficult.
(彼は私たちにその役を演じることは難しいと言った。)

I said that I would do my best.
(私は全力を尽くすと言った。)

I don’t want to talk about it.
(そんな話したくないわ。)

* tellは人を目的語に取る他動詞,sayは物事を目的語に取る他動詞、talkは自動詞

2.貸す・借りる

Could I ask you to lend me some money?
(少しお金を貸していただけないでしょうか?)

Can I borrow your pen?
(ペンを借りてもいいですか?)

I rented an apartment from him.
(私は彼からアパートを[有料で]借りた。)

He rented me an apartment.
(彼は私にアパートを[有料で]貸した。)

* lendは無料で貸す,borrowは無料で借りる,rentは有料で貸し借りする

3.似合う

 The shoes match this red skirt.
=The shoes go with this red skirt.
(その靴はこの赤いスカートに調和する。)

Let me know which color suits me the best.
(どの色が一番私に似合うか教えてください。)

That’s the shoe that fits me.
(それは私の大きさに合う靴だ。)

* match=go withは物と物が調和する,suitは似合う,fitは大きさが合う

4.許す・認める

My parents are so strict that they won’t allow[permit] me to date.
(私の両親は非常に厳しいのでデートすることを許可してくれません。)

I tried to forgive my wife for her obvious lies.
(私は妻の見え透いたうそを許すことにした。)

I admit[acknowledge] that’s a fact.
(私はそれが事実だと認める。)

* allowは許可、forgiveは罪を許す、admitは事実だと認める



高校英語文法「5文型」

解説動画とPDF

PDF(コメントなし) PDF(コメントあり)

 

第1文型

HeS smiledV
(彼はほほえんだ。)

My uncleS livesV in London
(私のおじはロンドンに住んでいる。)

There areV two catsS on the roof
(屋根の上に2匹の猫がいる。)

 

第2文型

My sisterS isV a nurseC
(私の妹は看護師です。)

My auntS remainedV singleC all her life
(私のおばは生涯独身のままだった。)

SheS gotV angryC
(彼女は怒った。)

The milkS has goneV badC
(牛乳が腐った。)

HeS seemedV surprisedC by my ignorance
(彼は私の無知に驚いたようだった。)

PeachesS tasteV sweetC
(桃は甘い。)

 

第3文型

WeS cleanedV the classroomO
(私たちは教室をそうじした。)

WeS enjoyedV ourselvesO at the party
(パーティーは楽しかった。)

第4文型

 FatherS gaveV meO1 this watchO2
FatherS gaveV this watchO to me
(父は私にこの時計をくれました。)

 MotherS boughtV meO1 a new bikeO2
MotherS boughtV a new bikeO for me
(母は私に新しい自転車を買ってくれました。)

 May IS askV youO1 a favorO2?
=May IS askV a favorO of you?(お願いがあるのですが。)

ItS tookV meO1 two hoursO2 to go to Tokyo
(東京に行くのに私は2時間かかった。)

ItS costV meO1 ten million yenO2 to buy this house
(この家を買うのに私は一千万円かかった。)

The new computerS will saveV usO1 a lot of timeO2
(その新しいコンピュータは私たちにたくさんの時間を省いてくれるだろう。)

第5文型

The newsS madeV meO angryC
(その知らせは私を怒らせた。)

WeS callV himO TeddyC
(私たちは彼のことをテディと呼ぶ。)

YouS’ll findV his brotherO coolC
(あなたは彼のお兄さんをかっこいいと思うでしょう。)

Mr. JohnsonS paintedV the fenceO whiteC
(ジョンソンさんは柵を白く塗った。)




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