第７章　推測統計（検定）

7.1 検定の考え方

（例題１） 　このサイコロが正しく作られていると仮定したときに（帰無仮説）、問題文のような結果になる確率を考え、それが5%以下であれば帰無仮説を棄却して、このサイコロが正しく作られていないということ（対立仮説）を採用する。
　このサイコロが正しく作られていると仮定すると、そのサイコロを1000回振ったときに1の目が出る回数は二項分布(1000, 0.167)に従い、サイコロを振る回数(n)が十分大きいので、正規分布$(1000\times0.167, 1000\times0.167\times(1-0.167))=(167, 139.1)$で近似できる。実際には1の目が200回出たので、これを標準正規分布上で考えると、$\frac{200-167}{\sqrt{139.1}}=2.80$となり、標準正規分布表から$z=2.80$の部分を読み取ると0.4974であるので、$0.5-0.4974=0.0026 < 0.025$より、帰無仮説を棄却できる。
　以上より、統計的に、このサイコロが正しく作られていない（いかさまサイコロである）と言える。


【問題１】　

（例題２） 　長嶋と王の打率が等しいと仮定したときに（帰無仮説）、問題文のような結果になる確率を考え、それが5%以下であれば帰無仮説を棄却して、長嶋のほうが王よりも打率が高いということ（対立仮説）を採用する。
　長嶋と王の両方を合わせた打率は17344打数5257安打の.303である。.303で8094打数のとき安打数は二項分布(8094, 0.303)に従い、打数(n)が十分大きいので、$(8094\times0.303, 8079\times0.303\times0.697)=(2452.5, 1709.4)=(2452.5, 41.345^2)$の正規分布で近似できる。これを打数8094で割って、打率は$(0.303, 0.0051081^2)=(0.303, 0.00002609)$の正規分布で近似できる（帰無仮説のもとでの長嶋の打率）。同様に、.303で9250打数のときの打率は、$(0.303, 0.00002283)$の正規分布で近似できる（帰無仮説のもとでの王の打率）。正規分布の加法性より、（帰無仮説のもとでの長嶋の打率）$-$（帰無仮説のもとでの王の打率）は、$(0303-0.303, 0.00002609+0.00002283)=(0, 0.00004892)$の正規分布となる（正規分布をなす２つの集団からの要素を引き算して新しい集団を作る場合に、新しい集団の平均は２つの集団の平均を引いたものになるが、分散は２つの集団の分散を足したものになる）。（実際の長嶋の打率）$-$（実際の王の打率）$=0.004$であるので、これを先ほどの正規分布を標準化したものの上で考えると、$\frac{0.004}{\sqrt{0.00004892}}=\frac{0.004}{0.006994}=0.57$となり、標準正規分布表から$z=0.57$の部分を読み取ると0.2157であるので、$0.5-0.2157=0.2843>0.05$より帰無仮説を棄却できない。
　以上より、統計的に、長嶋のほうが王よりも打率が高いと言うことはできない。

【問題２】　

7.2 z検定（大標本）

（例題３） 機械を新しくする前と後とでこの工業製品の平均重量は異ならないと仮定する（帰無仮説）。${母集団平均}=31.0$である。標本数が多いので、${母集団分散}={標本分散}=10.24$と考える。標本平均の集合をXとすると、Xは平均が$31.0$、分散が$10.24\div50=0.2048$の正規分布に従い、$\frac{X-31.0}{\sqrt{0.2048}}$は平均が0、分散が1の標準正規分布になる。今、新しい機械で作られたこの工業製品から50個を無作為抽出したものの平均重量が32.0だったので、これをXに代入して計算すると
$\frac{32.0-31.0}{\sqrt{0.2048}}$
$=\frac{1}{0.4525}$
$=2.21$
となる。$z=2.21$を標準正規分布表で読むと$0.4864$であり、$p=(0.5-0.4864)\times2=0.0272( < 0.05)$なので、帰無仮説を棄却できる。
以上より、統計的に、機械を新しくすることでこの工業製品の平均重量に影響をおよぼしたと言える。

【問題３】　
（例題４） 機械を新しくする前と後とでこの工業製品の平均重量は異ならないと仮定する（帰無仮説）。その平均重量を$\mu$とおく。標本サイズが大きいので、${母集団分散}={標本分散}$と考える。
機械を新しくする前の標本平均の集合を$X_1$とすると、$X_1$は平均が$\mu$、分散が$7.84\div40=0.196$の正規分布に従う。
機械を新しくした後の標本平均の集合を$X_2$とすると、$X_2$は平均が$\mu$、分散が$10.24\div50=0.2048$の正規分布に従う。
これらの差$X_1-X_2$は、正規分布の加法性より、平均が0、分散が$0.196+0.2948=0.4008$の正規分布に従う。これを$\sqrt{0.4008}$で割った$\frac{X_1-X_2}{\sqrt{0.4008}}=\frac{X_1-X_2}{0.6331}$は平均が0、標準偏差が1の標準正規分布となる。
ここに$X_1=31.0, X_2=32.0$を代入すると
$\frac{-1}{0.6331}$
$=-1.58$
となる。$z=1.58$を標準正規分布表で読むと$0.4429$であり、$p=(0.5-0.4429)\times2=0.1141( > 0.05)$なので、帰無仮説を棄却できない。
以上より、統計的に、機械を新しくすることでこの工業製品の平均重量に影響をおよぼしたとは言えない。

【問題４】　

7.3 t検定（小標本）

（例題５） 機械を新しくする前と後とでこの工業製品の平均重量は異ならないと仮定する（帰無仮説）。${母集団平均}=31.0$である。標本数が少ないので、$\frac{X-31.0}{\sqrt{\frac{10.24}{10}}}$は自由度が$10{（標本数）}-1=9$のt分布に従う。今、新しい機械で作られたこの工業製品から10個を無作為抽出したものの平均重量が32.0だったので、これをXに代入して計算すると
$\frac{32.0-31.0}{\sqrt{1.024}}$
$=\frac{1}{1.012}$
$=0.99$
となる。$t$分布表より自由度が9の$p=0.1$のとき$t=1.83$なので、$t=0.99$はこれより小さく、$p > 0.1$である。
以上より、統計的に、機械を新しくすることでこの工業製品の平均重量に影響をおよぼしたとは言えない。

【問題５】　

（例題６） 機械を新しくする前と後とでこの工業製品の平均重量は異ならないと仮定する（帰無仮説）。その平均重量を$\mu$とおく。
機械を新しくする前の標本平均の集合を$X_1$とすると、$\frac{X_1-\mu}{\sqrt{3.872}}$は自由度が$5-1=4$の$t$分布に従う。
機械を新しくした後の標本平均の集合を$X_2$とすると、$\frac{X_2-\mu}{\sqrt{1.024}}$は自由度が$10-1=9$の$t$分布に従う。
これらの差$\frac{X_1-X_2}{\sqrt{3.872+1.024}}=\frac{X_1-X_2}{\sqrt{4.896}}$は、自由度が$\frac{(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2})^2}{\frac{s_1^4}{n_1^2(n_1-1)}+\frac{s_2^4}{n_2^2(n_2-1)}}$のt分布に従う（Welchのt検定）。
ここに$X_1=31.0, X_2=32.0$を代入すると
$\frac{-1}{2.213}$ $=-0.452$ となる。
自由度は$n_1=5, s_1=4.4, n_2=10, s_2=3.2$を代入して
$\frac{(\frac{19.36}{5}+\frac{10.24}{10})^2}{\frac{374.8096}{100}+\frac{104.8576}{900}}$
=$\frac{4.896^2}{3.86460444444}$
=$6.20$ となる。
自由度が6のt分布表を読むと$p=0.1$のときの値が$1.943$であり、$t=0.452$のときは$p > 0.1$なので、帰無仮説を棄却できない。
以上より、統計的に、機械を新しくすることでこの工業製品の平均重量に影響をおよぼしたとは言えない。

【問題６】　

7.4 $\chi^2$検定

（例題７） 機械を新しくする前と後とでこの工業製品の平均重量は異ならないと仮定する（帰無仮説）。$\frac{ns^2}{\sigma^2}$は自由度が$n-1$の$\chi^2$分布に従う。
$\frac{ns^2}{\sigma^2}=\frac{10\times10.24}{2.2^2}=21.16$であり、$\chi^2$分布より自由度が9のところを読むと、$ 0.010 < p < 0.015 $であるので、帰無仮説を棄却できる。
以上より、統計的に、機械を新しくすることでこの工業製品の平均重量に影響をおよぼしたと言える。

【問題７】　

（例題８） このサイコロが正しく作られていると仮定する（帰無仮説）。そうすると、それぞれの目が出る回数の期待度数は$120\times\frac16=20$である。その期待度数と実際の値との差を２乗して、その期待度数で割る。その結果を足しあわせたものは、自由度が$6-1=5$の$\chi^2$分布となる。

目	1	2	3	4	5	6
回数	14	27	18	16	22	23
期待度数	20	20	20	20	20	20
$({回数}-{期待度数})^2$	36	49	4	16	4	9
$\frac{({回数}-{期待度数})^2}{期待度数}$	1.8	2.45	0.2	0.8	0.2	0.45

本問では、期待度数と実際の値との差を２乗して、その期待度数で割り、その結果を足しあわせたものが、$1.8+2.45+0.2+0.8+0.2+0.45=5.9$となる。$\chi^2$分布表の自由度が5のところをを読むと、$p=0.05$のときの値が11.075であり、$5.9 < 11.075$から$p > 0.05$となるので、帰無仮説を棄却できない。
以上より、統計的に、このサイコロが正しく作られていないとは言えない。

【問題８】　

（例題９） 農園と品質との間に関連がないと仮定する（帰無仮説）。そのときの期待度数は次のようになる。

	優	良	可	計
A農園	21.5	59.2	19.3	100
B農園	64.5	177.6	57.9	300
C農園	129	355.2	115.8	600
計	215	592	193	1000

実際の値と期待度数との差を取って２乗する。

	優	良	可
A農園	12.25	7.84	39.69
B農園	30.25	5.76	62.41
C農園	81	27.04	201.64

それを期待度数で割る。

	優	良	可
A農園	0.57	0.13	2.06
B農園	0.47	0.03	1.08
C農園	0.63	0.08	1.74

これらを全部足すと
$ 0.57+0.13+2.06+0.47+0.03+1.08+0.63+0.08+1.74=6.78$
これが自由度$(3-1)\times(3-1)=4$の$\chi^2$分布に従うので、$\chi^2$分布表の自由度が4のところをを読むと、$p=0.05$のときの値が9.488であり、$6.78 < 9.488$から$p > 0.05$となるので、帰無仮説を棄却できない。
以上より、統計的に、農園と品質との間に関連があるとは言えない。
【問題９】