中学・高校数学から統計学入門

ホーム

第1章 命題

1.1 集合

(例題1)
大学生 200 人を対象に、飲酒と喫煙に関するアンケートを取った。 その結果、飲酒すると答えた学生は 115 人、喫煙すると答えた学生は 55 人いた。 また、飲酒も喫煙も両方しないと答えた学生は 60 人であった。 このとき、飲酒も喫煙も両方すると答えた学生は何人か。

$A\cup{B}=200-60=140$
$A\cap{B}=(115+55)-140=30$
$A\cap{\overline{B}}=115-30=85$
$\overline{A}\cap{B}=55-30=25$

* 問題に答えるだけなら$A\cap{B}=30$だけを求めればよいが、ここでは学習のために他のものもすべて求めた。

【問題1】 
総世帯数が200のある地区では、新聞をとっている世帯が170ある。このうちA新聞をとっている世帯は90、B新聞をとっている世帯は120ある。その他の新聞はこの地区にはないものとして、A, B両方の新聞をとっている世帯はいくつか。

1.2 命題

命題の真偽を判定する際には、偽になる反例を探すようにするとよい。もとの命題の真偽と対偶の真偽は一致するが、「逆は必ずしも真ならず」。

(例題2)
  1. $△{ABC}$が正三角形ならば、$△{ABC}$は二等辺三角形である。
  2. $ab$が偶数ならば、$a$も$b$も偶数である。
  3. $x^2$が4の倍数でなければ、$x$は4の倍数でない。
  1. ベン図で考える

    図より、この命題は真である。
  2. $a=3, b=4$だとすると、$ab=12$と偶数になるが、$a$は偶数ではない。よってこの命題は偽である。
  3. この命題の対偶は、「$x$が4の倍数であれば、$x^2$は4の倍数である」である。$x=4k$($k$は整数)とすると、$x^2=16k^2$となり、4の倍数となる。よってこの命題は真である。

【問題2】 
  1. $△{ABC}$が正三角形ならば、$△{ABC}$は直角三角形である。
  2. $x$が4の倍数でなければ、$x^2$は4の倍数でない。
  3. $x^2\ne9$ならば、$x\ne3$である。

【問題3】 
4枚のカードがあり、それぞれ片面にはアルファベットが、もう片面には数字が書かれている。このとき、A, F, 4, 7のカードがあり、「片面が母音ならば、そのカードの裏は偶数でなければならない」というルールが成立しているかどうかを確かめたい。少なくとも、どのカードを調べる(引っくり返してみる)必要があるか。

1.3 必要条件・十分条件

「$p$ならば$q$」の命題が真のとき、$p$は$q$の十分条件、$q$は$p$の必要条件である。

(例題3)
次の文の空所に、「必要」「十分」「必要十分」のいずれかを入れなさい。
  1. 動物であることは、犬であるための(    )条件である。
  2. ソクラテスであることは、人間であるための(    )条件である。
  3. 4つの角が直角であることは、四辺形が長方形であるための(    )条件である。
  1. 「動物であるならば、犬である」は偽、「犬であるならば、動物である」は真なので、必要条件である。
  2. 「ソクラテスであるならば、人間である」は真、「人間であるならば、ソクラテスである」は偽なので、十分条件である。
  3. 「4つの角が直角ならば、四辺形が長方形である」は真、「四辺形が長方形ならば、4つの角は直角である」は真なので、必要十分条件である。

【問題4】 
  1. ぶどうであることは、果物であることの(    )条件である。
  2. 哺乳類であることは、動物であることの(    )条件である。
  3. 得点が失点を上回っていることは、野球の試合に勝つことの(    )条件である。

(例題4)
それぞれ一つの NPOで活動しているA~Eの5人がいる。5人のうち4人は同じNPOで活動し 1人だけ異なる NPOで活動している。5人がそれぞれ所属している NPOの月々の活動について次のことが分かっているとき 1人だけ異なる NPOに所属しているのは誰か。
  • Aが所属している NPOでは 理事会がない月には 清掃活動も教育支援活動も行わない。
  • Bが所属している NPOでは 清掃活動と教育支援活動の両方を行う月には 理事会もある。
  • Cが所属している NPOでは 理事会がない月には 清掃活動と教育支援活動の少なくとも一方を行わない。
  • Dが所属している NPOでは 清掃活動と教育支援活動の少なくとも一方を行う月には 理事会もある。
  • Eが所属している NPOでは 理事会がない月には 清掃活動か教育支援活動のどちらか一方を行い他方は行わない。
(平成21年国家公務員試験より)
分かっていることを次のように記号化する。 それぞれ対偶を取る 以上より、A〜Dは論理的に同一である。よって1人だけ異なるNPOに所属しているのはEである。

【問題5】 
ある会社において、自分の好みの食事に関するアンケート調査を行ったところ、A、B、Cのことが分かった。これから確実にいえるのはどれか。ただし、どの食事も少なくとも1人は好きな食事として回答した人がいた。
  1. ラーメンとすしが好きな人は、カレーライスも好きである。
  2. ラーメンも焼肉も好きでない人は、すしかピザが好きである。
  3. 焼肉が好きな人は、カレーライスもピザも好きではない。

  1. カレーライスが好きな人は、焼肉が好きである。
  2. ラーメンが好きな人は、焼肉が好きである。
  3. すしが好きでない人は、ラーメンも焼肉も好きである。
  4. ピザが好きな人は、焼肉が好きではない。
  5. ラーメンが好きな人は、カレーライスが好きである。
(平成17年国家公務員試験より)

作成:浅野直樹
クリエイティブ・コモンズ・ライセンス
このサイトの内容は、クレジットを表示し、それをもとに作成された新しい作品が元の作品と同様の条件で提供される限りは、改変や商用利用も含めてご自由にお使いいただけます。
記載が不正確であったことなどにより損害が生じた場合の責任は負いません。
間違いなどを発見した場合はお問い合わせからお知らせいただけるとありがたいです。