中学・高校数学から統計学入門

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第2章 場合の数

場合の数(全部で何通りか)を考えるときには、数え上げるのが基本。辞書式配列や樹形図が有効であり、計算で求めることができる場合もある。

(例題1)
A, B, C, Dの4人を一列に並べる方法は何通りあるか

(ア)辞書式配列で考える
  1. ABCD
  2. ABDC
  3. ACBD
  4. ACDB
  5. ADBC
  6. ADCB
  7. BACD
  8. BADC
  9. BCAD
  10. BCDA
  11. BDAC
  12. BDCA
  13. CABD
  14. CADB
  15. CBAD
  16. CBDA
  17. CDAB
  18. CDBA
  19. DABC
  20. DACB
  21. DBAC
  22. DBCA
  23. DCAB
  24. DCBA
以上より24通り

(イ)樹形図で考える

以上より24通り

(ウ)計算で求める。
(樹形図を思い浮かべながら)
$4\times3\times2\times1=24$
以上より24通り
* これを$_4P_4$や$4!$と表すことがある。

【問題1】 
A, B, C, D, Eの5人を一列に並べる方法は何通りあるか。


(例題2)
A, B, C, D, E, F, Gの7人のうち3人を一列に並べる方法は何通りあるか。

(樹形図を想像しながら)$7\times6\times5=210$
以上より210通り。
* これを$_7P_3$と表すことがある。

(例題3)
A, B, C, D, E, F, Gの7人から委員長、副委員長、書記を選ぶ方法は何通りあるか。

7人のうち3人を一列に並べて先頭から順に委員長、副委員長、書記であると考えると$7\times6\times5=210$
以上より210通り。

(例題4)
A, B, C, D, E, F, Gの7人から3人の委員を選ぶ方法は何通りあるか。

仮にA, B, Cの3人が委員に選ばれたとして、その中で委員長、副委員長、書記の役職を割り振る方法は、その3人を一列に並べて先頭から順に委員長、副委員長、書記であると考えると$3\times2\times1=6$通りである。どの3人が選ばれても同様に考えることができるので、求める総数は$210\div6=35$通り。
* これを$_7C_3=\frac{_7P_3}{_3P_3}$と表すことがある。

【問題2】 
A, B, C, D, E, F, G, H, I, Jの10人から4人の委員を選ぶ方法は何通りあるか。


(例題5)
右のような道があるとき、AからBまでの最短経路は何通りあるか。

右へ進むことを→、上へ進むことを↑と表すと、例えば1つの最短経路は以下のように表すことができる。
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

↑に着目すると、この例は(3), (4), (6), (9)と表すことができる。
求める総数は、このようにして、(1)〜(9)に→を5回、↑を4回配置する総数、つまり、(1)〜(9)の9つから↑が配置される4つを選ぶ総数なので、$(9\times8\times7\times6)\div(4\times3\times2\times1)=126$通りである。

【問題3】 
右のような道があるとき、AからBまでの最短経路は何通りあるか。



作成:浅野直樹
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