第６章　推測統計（推定）

6.1 推定の考え方

（例題１） これは$(500, 0.35)$の二項分布になるので、平均が$500\times0.35=175$、分散が$500\times0.35\times(1-0.35)=113.75$の正規分布となる。この当たる回数を$X$とすると、$\frac{X-175}{\sqrt{113.75}}$は平均が0、分散が1の標準正規分布になる。その式に$X=200$を代入すると、$\frac{200-175}{\sqrt{113.75}}\fallingdotseq2.34$となり、$z=2.34$のところの値を標準正規分布表で読み取ると$.490$である。よって求める確率は$0.5-0.490=0.01$となる。


【問題１】　

（例題２） 打数$(n)$が十分に大きいので、真の打率が$0.385$であると考える。真の打率を$0.385$として、$546$回の打数があるとすると、その安打数は$(546, 0.385)$の二項分布になるので、平均が$546\times0.385\fallingdotseq210.2$、分散が$210.2\times0.615\fallingdotseq129.3$の正規分布となる。安打数を$X$とすると、$\frac{X-210.2}{\sqrt{129.3}}$は平均が0、分散が1の標準正規分布になる。標準正規分布表から、$.4750$となる$z$の値を読み取ると$1.96$であることがわかる。よって、この標準正規分布における95%区間は、$-1.96\leqq\frac{X-210.2}{\sqrt{129.3}}\leqq1.96$となる。これを解くと
$-1.96\leqq\frac{X-210.2}{11.37}\leqq1.96$
$-22.29\leqq{X-210.2}\leqq22.29$
$187.9\leqq{X}\leqq232.5$
これを打数$(n)$で割ると
$0.344\leqq\frac{X}n\leqq0.426$
以上より、当時のイチロー選手の真の打率を95%区間で推定すると、.344以上、.426以下となる。

【問題２】　

（例題３） 　標本（調査対象者）が母集団（アメリカ大統領選挙の全有権者）をいかに適切に代表しているかという問題である。標本数よりも、標本が母集団からまんべんなく抜き取られていることが重要である。
　1936年の大統領選挙に関しては、同時自動車や電話を保有していたのは裕福な人たちであり、それゆえ共和党支持者が多かったので、リテラリー・ダイジェスト誌が選んだ標本では母集団と比べて共和党支持者の比率が高かったために、誤った結論が導き出されたと考えられる。
　1948年の大統領選挙に関しては、割り当てられた属性内での調査対象者が、調査員の主観によって選ばれていたために、ズレが生じたと考えられる。
　現在では、こうした欠陥を克服するために、無作為抽出の方法がとられている。

【問題３】　

6.2 正規分布（大標本）

（例題４） 標本を何度も取ることを想定すると、標本平均の集合は、平均が母集団平均で分散が$\frac{母集団分散}{標本数}$の正規分布に従う（中心極限定理）。標本数が大きい場合は、母集団分散が標本分散に等しいと考えてもよい。
本問では、標本数が50なので大きいと言える。${母集団平均}=\mu$とおく。${母集団分散}={標本分散}=10.24$と考える。標本平均の集合をXとすると、Xは平均が$\mu$、分散が$10.24\div50=0.2048$の正規分布に従い、$\frac{X-\mu}{\sqrt{0.2048}}$は平均が0、分散が1の標準正規分布になる。95%区間で推定をするので、標準正規分布表より、
$-1.96\leqq\frac{X-\mu}{\sqrt{0.2048}}\leqq1.96$
$-0.888\leqq{X-\mu}\leqq0.888$
$-0.888\leqq{-X+\mu}\leqq0.888$
$-0.888+X\leqq{\mu}\leqq0.888+X$
今、標本平均が32.0なので、これをXに代入すると
$31.112\leqq{\mu}\leqq32.888$
以上より、この工業製品の平均重量は、31.1g以上32.9g以下である。



【問題４】　

6.3 t分布（小標本）

（例題５） 標本を何度も取り、標本平均の集合を考えると、母集団が正規分布している場合、平均が母集団平均で分散が$\frac{母集団分散}{標本数}$の正規分布に従う。標本数が小さい場合は、母集団分散が標本分散に等しいと考えてはならない。
本問では、標本数が10なので大きいと言えない。${母集団平均}=\mu$とおく。標本平均の集合をXとすると、Xは平均が$\mu$、分散が${母集団分散}\div10$の正規分布に従い、$\frac{X-\mu}{\sqrt{{母集団分散}\div10}}$は平均が0、分散が1の標準正規分布になる。この式の母集団分散の代わりに標本分散を用いた$T=\frac{X-\mu}{\sqrt{{標本分散}\div10}}=\frac{X-\mu}{\sqrt{1.024}}$は、正規分布ではなく、自由度が$10{（標本数）}-1=9$のt分布に従うことがわかっている（正確には標本分散ではなく、標本分散を$\frac{n}{n-1}$倍した不偏分散を用いるが、ここでは簡略化のため標本分散で代用した）。
95%区間で推定をするので、t分布表より、
$-2.26\leqq\frac{X-\mu}{\sqrt{1.024}}\leqq2.26$
$-2.287\leqq{X-\mu}\leqq2.287$
$-2.287\leqq{-X+\mu}\leqq2.287$
$-2.287+X\leqq{\mu}\leqq2.287+X$
今、標本平均が32.0なので、これをXに代入すると
$29.713\leqq{\mu}\leqq34.287$
以上より、この工業製品の平均重量は、29.7g以上34.3g以下である。



【問題５】　

6.4 $\chi^2$分布

（例題６） 平均が$\mu$、分散が$\sigma^2$の正規分布からランダムに取り出した標本を$x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n$として、そのそれぞれと平均との差を標準偏差で割って標準化したものの2乗の和$(\frac{x_1-\mu}{\sigma})^2+(\frac{x_2-\mu}{\sigma})^2+(\frac{x_3-\mu}{\sigma})^2+\cdots+(\frac{x_n-\mu}{\sigma})^2$は、自由度が$n$の$\chi^2$分布に従うことが知られている。$\mu$の代わりに標本平均$\bar{x}$を用いた$(\frac{x_1-\bar{x}}{\sigma})^2+(\frac{x_2-\bar{x}}{\sigma})^2+(\frac{x_3-\bar{x}}{\sigma})^2+\cdots+(\frac{x_n-\bar{x}}{\sigma})^2$は、自由度が$n-1$の$\chi^2$分布に従う。標本分散を$s^2$とすると、$s^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2}{n}$より、$(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2=ns^2$となるので、$\frac{ns^2}{\sigma^2}$が自由度が$n-1$の$\chi^2$分布に従うとも言える。
本問では、$n=10, s^2=10.24$なので、$\frac{102.4}{\sigma^2}$が自由度が$9$の$\chi^2$分布に従う。
$\chi^2$分布表より自由度が$9$の値を読むと、$p=0.975$が2.70、$p=0.025$が19.02なので、$2.70\leqq\frac{102.4}{\sigma^2}\leqq19.02$を考えればよい。
（ア）
$2.70\leqq\frac{102.4}{\sigma^2}$より
$2.70{\sigma^2}\leqq102.4$
${\sigma^2}\leqq37.93$
（イ）
$\frac{102.4}{\sigma^2}\leqq19.02$より
$102.4\leqq19.02\sigma^2$より
$5.39\leqq\sigma^2$
以上より、この工業製品の重量の分散は、5.4以上37.9以下であると推定できる。

【問題６】