浅野直樹平行線と線分の比
平行線と線分の比とは、右の図でBC // DEのとき、次の２つの事柄が成り立つことです。
（ア） AB:AD＝AC:AE＝BC:DE
（イ） AD:DB＝AE:EC
（ア）の証明はそれほど難しくありません。
【証明】
△ABCと△ADEにおいて
BC // DEより平行線の同位角は等しいので
∠ABC＝∠ADE…①
∠ACB＝∠AED…②
①、②より２つの角がそれぞれ等しいので
△ABC∽△ADE
対応する辺の比は等しいので
AB:AD＝AC:AE＝BC:DE
これで（ア）は証明できました。問題は（イ）です。直感的には成り立ちそうですが、きちんと証明するとなると意外に苦労します。
平行線と線分の比の証明その１
補助線を引いて平行四辺形を作るやり方です。中学数学の教科書に載っているのはおそらくこれです。
【証明】
Dを通りACに平行な直線を引き、その直線とBCとの交点をFとする。
△ADEと△DBFにおいて
BC // DEより平行線の同位角は等しいので
∠ADE＝∠DBF…①
AC // DFより平行線の同位角は等しいので
∠DAE＝∠BDF…②
①、②より２つの角がそれぞれ等しいので
△ADE∽△DBF
対応する辺の比は等しいので
AD:DB＝AE:DF…③
四角形DECFは平行四辺形なので
DF＝EC
このことと③より
AD:DB＝AE:EC
平行線と線分の比の証明その２
私は補助線を引いて平行四辺形を作ることが思いつかず、相似比から直接考えました。
【証明】
（ア）の証明より
△ABC∽△ADEであり、その相似比をa:bとすると
AB:AD＝AC:AE＝a:bとなる。
このことより、ある正の数m, nを用いて（2020/9/28「任意の正の数」を「ある正の数」に訂正）
AB＝am, AD＝bm
AC＝an, AE＝bn
と表すことができる。
DB＝AB−AD＝am−bm＝m(a−b)
EC＝AC−AE＝an−bn＝n(a−b)
となり、
AD:DB
＝bm:m(a-b)
＝b:(a−b)
AE:EC
＝bn:n(a−b)
＝b:(a−b)
となるので、
AD:DB＝AE:ECが成り立つ。
比と実際の長さを混同しないように注意する必要がありますが、こうすれば補助線を引くことなしに相似比から直接証明できます。